متغیر حساسیت، ریوڑ کی قوت مدافعت کی حد اور متعدی بیماریوں کی ماڈلنگ پر ایک نوٹ

خلاصہ

وبائی امراض کے لیے ریاضی کے ماڈلز کے استعمال سے پیش گوئی کرنا COVID-19 وبائی مرض کے سامنے آنا بہت مشکل ہے۔ اگرچہ یہ ثابت کیا گیا ہے کہ حساسیت میں تغیرات کا اہم مقداروں پر اثر ہوتا ہے جیسے واقعات کی چوٹی، ریوڑ کی قوت مدافعت کی حد، اور وبائی مرض کے حتمی سائز، اس پیچیدہ رجحان کی پیمائش یا مقدار طے کرنا تقریباً ناممکن ہے، اور یہ ابھی تک واضح نہیں ہے۔ ماڈلنگ اور پیشین گوئی کے لیے اسے کیسے شامل کیا جائے۔ اس کام میں، ہم یہ ظاہر کرتے ہیں کہ، ماڈلنگ کے نقطہ نظر سے، انفرادی سطح پر حساسیت میں تغیر، "مصنوعی" جراثیم کش قوت رکھنے والی آبادی کے θ حصے کے برابر ہے۔ ہم ریوڑ کے استثنیٰ کی حد اور وبائی مرض کے حتمی سائز کے لیے نئے فارمولے بھی اخذ کرتے ہیں اور یہ ظاہر کرتے ہیں کہ متغیر حساسیت کی موجودگی میں یہ اقدار کلاسیکی فارمولوں کی پیش گوئی سے کافی حد تک کم ہیں۔ SARS-CoV-2 کے خاص معاملے میں، اب تک بلاشبہ ویکسین اور پچھلے انفیکشن دونوں سے قوت مدافعت کم ہونے کی وجہ سے متغیر حساسیت موجود ہے، اور ہمارے نتائج کو ماڈلز کو بہت آسان بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ اگر اس طرح کے تغیرات پہلی لہر سے پہلے بھی موجود تھے، جیسا کہ متعدد مطالعات سے ظاہر ہوتا ہے، تو یہ نتائج اس بات کی وضاحت کرنے میں مدد کر سکتے ہیں کہ SARS-CoV-2 کی ابتدائی لہروں کی شدت اس کے مقابلے میں نسبتاً کم کیوں تھی معیاری ماڈلز کی بنیاد پر توقع ہے۔

cistanche tubulosa - مدافعتی نظام کو بہتر بنانا

1. تعارف

چونکہ Kermack اور McKendrick [1–3] کے بنیادی کاموں کو کمپارٹمنٹل ریاضیاتی ماڈلز (جیسے SIR، SEIR، وغیرہ) متعدی بیماریوں کے پھیلاؤ کے ماڈل کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں۔ دیگر چیزوں کے علاوہ، ان کاغذات نے اب تک کی مشہور R0- ویلیو کو متعارف کرایا اور یہ ظاہر کیا کہ انسانی وجدان کے برعکس، متعدی بیماری کبھی بھی پوری آبادی کو متاثر نہیں کرے گی، چاہے وہ کتنی ہی متعدی کیوں نہ ہو۔ اس کے بجائے، جب بازیاب ہونے والے افراد کا حصہ نام نہاد "Herd-Immunity Threshold" تک پہنچ جائے گا تو یہ واقعات زوال پذیر ہونا شروع ہو جائیں گے، جس کے لیے انہوں نے مشہور فارمولہ اخذ کیا تاہم، SARS-CoV-2 وبائی مرض سے پہلے، وہاں کوئی نہیں تھا۔ ایک نئے وائرس (انسانوں کو متاثر کرنے والے) سے قابل اعتماد ڈیٹا جس پر اس پیشین گوئی کی جانچ کی جا سکتی ہے۔ بدقسمتی سے، یہ زیادہ تر معاملہ رہتا ہے، کیونکہ لاک ڈاؤن اور رضاکارانہ تنہائی (جس کی ماڈل پیش گوئی نہیں کر سکتے) نے پھیلاؤ پر بڑا اثر ڈالا۔ اس کے باوجود، سویڈن جیسی جگہوں کے اعداد و شمار، جنہوں نے کمیونٹی ٹرانسمیشن کو روکنے کے لیے نسبتاً کم کام کیا، اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ ریاضی کے ماڈلز میں ایک بڑی وباء کے دوران لہر کی شدت کو زیادہ اندازہ لگانے کا رجحان ہوتا ہے [4]۔ ماڈل کے منحنی خطوط پر نم ہونے والے اثرات کے لیے کئی عوامل جانا جاتا ہے۔ ایسی ہی ایک مثال متغیر حساسیت ہے، مثلاً Ch. 1 اور 3 میں [5]، اور مضامین [6-9]۔ متغیر حساسیت کے لحاظ سے، ہم یہاں افراد کے درمیان انفیکشن ہونے کے امکان میں (وقت کے مترادف) فرق کا حوالہ دیتے ہیں، وائرس کو ایک خاص نمائش کے پیش نظر، وقت کے ساتھ انفرادی تغیرات کے برخلاف۔ اسی طرح کے نتائج عددی طور پر دیگر متفاوتات، جیسے عمر اور سرگرمی کے لیے بھی قائم کیے گئے ہیں [10]۔ دلچسپ بات یہ ہے کہ متغیر انفیکشن (سپر اسپریڈرز) کا کسی بڑے وباء کے دوران پھیلاؤ پر کوئی نم اثر نہیں ہوتا ہے [11]۔ کسی بھی صورت میں، اس طرح کے نتائج کو ہورسٹک دلائل کا استعمال کرتے ہوئے یا صرف متعلقہ ماڈلز کی جانچ کرکے اخذ کیا جاتا ہے، اور ان مظاہر کے پیچھے میکانزم کو بخوبی سمجھا جاتا ہے۔ خاص طور پر، چونکہ حساسیت میں تغیر کا اندازہ لگانا عملی طور پر ناممکن ہے، اس لیے یہ واضح نہیں ہے کہ اسے ماڈلز میں کس طرح مؤثر طریقے سے شامل کیا جائے، اس لیے مستقبل کی COVID{18} لہروں، یا اگلی وبائی بیماری کی پیشین گوئیاں ایک بڑا چیلنج بنی ہوئی ہیں۔

cistanche tubulosa - مدافعتی نظام کو بہتر بنانا

ٹھوس طور پر، فرض کریں کہ ایک نیا متعدی بیماری، جس کی منتقلی کی حرکیات میں انفیکشن اور/یا حساسیت میں زیادہ تغیرات شامل ہیں، ایک بڑے شہر کی طرح ایک اچھی طرح سے جڑے ہوئے نیٹ ورک میں متعارف کرایا گیا ہے، اور فرض کریں کہ ایک بڑا وبا پھیلنے والا ہے۔ اس کے بعد کوئی R0 کا تخمینہ لگا سکتا ہے، یعنی EpiEstim [12] یا [13] کا استعمال کرتے ہوئے، ابتدائی کیسوں کے ڈیٹا سیریز سے، نئے انفیکشنز کی اوسط تعداد کا ایک موٹا تخمینہ جو ایک انفیکشن کو جنم دیتا ہے۔ کانٹیکٹ ٹریسنگ اسٹڈی کے ذریعے، کوئی بھی جنریشن ٹائم جنریشن کا اندازہ لگا سکتا ہے، جو کہ SIR ماڈل کو چلانے کے لیے درکار دوسرا پیرامیٹر ہے۔ ایسی صورت حال میں، کوئی یہ سوال پوچھ سکتا ہے کہ کیا غیر دواسازی کی مداخلت کی غیر موجودگی میں، ایک سادہ SIR سمولیشن کا آؤٹ پٹ آنے والی چیزوں کا ایک اچھا فرسٹ آرڈر تخمینہ ہے۔ کیا فارمولہ (1) اس بات کا ایک اچھا اشارہ ہے کہ ہم کب اس وباء کے کم ہونے کی توقع کر سکتے ہیں؟ COVID-19 وبائی امراض کے دوران سویڈن کے اعداد و شمار کی بنیاد پر، جواب نفی میں لگتا ہے، دیکھیں [4] جہاں یہ دکھایا گیا ہے کہ واقعات میں کمی واقع ہوئی ہے، غیر متوقع طور پر، سیروپریویلنس کی سطح پر جو کہ (1) کی پیش گوئی سے بہت کم ہے۔ اس موضوع پر پہلے کے نظریاتی مطالعات میں سے، مذکورہ بالا سوالات کے جوابات کے قریب ترین مضمون ہے Britton et۔ al [10]، جہاں مصنفین یہ ثابت کرتے ہیں کہ سرگرمی کے نمونوں میں تغیرات (1) کی بنیاد پر کلاسیکی تخمینہ کے مقابلے میں، ریوڑ کی قوت مدافعت کی حد کو نمایاں طور پر کم کر سکتے ہیں۔ اسی طرح کے پیغام کے ساتھ ایک پرانی اشاعت ہے [14]۔ تاہم، یہ نتائج ایسے ماڈلز پر مبنی تجرباتی مشاہدات ہیں جو آبادی کی نسبت کو شامل کرنے کے لیے بنائے گئے ہیں۔ یہ نم ہونے والا اثر ریاضیاتی طور پر قائم نہیں ہوا ہے اور یہ ابھی تک واضح نہیں ہے کہ کس طرح، اور کس حد تک، مختلف متفاوتات ظاہر ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، یہ واضح نہیں ہے کہ ریوڑ سے استثنیٰ کی حد کی زیادہ درست طریقے سے پیش گوئی کیسے کی جائے۔ ہم ریمارکس دیتے ہیں کہ، SARS-CoV-2 کے معاملے میں، بہت سے عوامل جیسے کہ جینیاتی، کراس ری ایکٹیو امیونٹی، اور پیدائشی استثنیٰ، کو حساسیت میں فرق فراہم کرنے کے لیے دکھایا گیا ہے [15–18]۔

cistanche tubulosa - مدافعتی نظام کو بہتر بنانا

Cistanche Enhance Immunity مصنوعات دیکھنے کے لیے یہاں کلک کریں۔

【مزید پوچھیں】 ای میل:cindy.xue@wecistanche.com / واٹس ایپ: 0086 18599088692 / وی چیٹ: 18599088692

1.1 ناول کی شراکتیں۔

اس کام میں، ہم ریاضیاتی طور پر ثابت کرتے ہیں کہ حساسیت میں تغیرات کا ماڈل کے منحنی خطوط پر گہرا اثر پڑتا ہے، جب کہ انفیکشن میں تغیرات نہیں ہوتے (جب تک کہ اس کا سابقہ ​​سے کوئی تعلق نہیں، دیکھیں [7])۔ مزید اہم بات یہ ہے کہ ہمیں یہ بھی معلوم ہوتا ہے کہ (عام طور پر نامعلوم) تقسیم کی وضاحت کرتی ہے کہ کس طرح حساسیت مختلف ہوتی ہے درست ماڈلنگ کے لیے ضروری نہیں ہے۔ زیادہ واضح طور پر ہم یہ ظاہر کرتے ہیں کہ حساسیت کا متضاد ماڈل ایک معیاری (یکساں) SIR ماڈل کے ساتھ تقریبا یکساں برتاؤ کرے گا جہاں آبادی کے ایک حصے میں جراثیم کش قوت مدافعت ہوتی ہے اور یہ کہ حساسیت کی تقسیم کی درست شکل صرف جراثیم کشی کی سطح کو متاثر کرتی ہے۔ اس بات کی نشاندہی کرنا ضروری ہے کہ یہ استثنیٰ صرف ریاضیاتی ماڈل کی آسانیاں کے اندر موجود ہے، اور اسے بعض افراد کی اصلی جراثیم کش استثنیٰ کے ساتھ الجھن میں نہیں ڈالنا چاہیے۔ دوسرے لفظوں میں، یہاں تک کہ اگر ہر کوئی وائرس کا شکار ہے (کسی حد تک)، آبادی کی سطح پر ایسا لگتا ہے جیسے آبادی کے ایک حصے میں جراثیم کش قوت مدافعت ہے۔ ہم ایسی استثنیٰ کا حوالہ دیں گے، جو درست ریاضیاتی ماڈلنگ کے لیے درکار ہے، جیسا کہ "مصنوعی جراثیم کشی استثنیٰ" (ASI)، اور آبادی کا حصہ جس میں یہ θ ہے۔ جب تک دستیاب ڈیٹا سے θ کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے، ہم یہ ظاہر کرتے ہیں کہ اصل استثنیٰ کی حد (1) پیشین گوئی سے کم ہے۔ درست فارمولہ، متغیر حساسیت کی موجودگی میں، کی طرف سے دیا جاتا ہے

اور وبائی مرض کا آخری سائز بھی اسی عنصر (1 − θ) سے سکڑ جاتا ہے۔ ہم عددی طور پر یہ بھی ظاہر کریں گے کہ آبادی کی دیگر متضادات، جیسے کہ برٹن ایٹ کے ذریعہ سمجھا جاتا ہے۔ al [10]، ایک یکساں اثر رکھتے ہیں، اور اس لیے اس مقالے میں پائے جانے والے نتائج کو بیماری کے پھیلاؤ کے لیے زیادہ حقیقت پسندانہ متضاد ماڈل میں نامعلوم افراد کی تعداد کو نمایاں طور پر کم کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔

2 متعدی بیماری کی ریاضی کی حرکیات پھیلتی ہیں۔

ریاضیاتی نتائج کی وضاحت کرنے کے لیے، ہم سب سے پہلے اس بات کا جائزہ دیتے ہیں کہ بنیادی ماڈل کیسے کام کرتا ہے۔ SIR کا مطلب ہے Susceptibles, Infectives, and Recovered، اور یہ ریاضیاتی وبائی امراض میں استعمال ہونے والے "کمپارٹمنٹل ماڈل" کی سب سے آسان شکل ہے (مثلاً [19] اس فیلڈ کے تعارف کے لیے دیکھیں)۔ ماڈل میں، S، I، اور R ٹائم ٹی کے افعال ہیں، اور یہ بتانے کے لیے کہ ان کا کیا تعلق ہے، ہم واقعات کو بیان کرنے والے (فالتو) فنکشن کو بھی متعارف کرائیں گے، یعنی ہر روز نئے متاثر ہونے والوں کی مقدار (الجھنا نہیں چاہیے۔ I کے ساتھ، جو پھیلاؤ کو بیان کرتا ہے)۔ ν(t) کا فارمولا الگورتھم کے مرکز میں ہے، اور شروع میں، ہمارے پاس صرف ν(t)=I(t) ہے، جہاں ایک مستقل ہے جو یہ طے کرتا ہے کہ اوسطاً کتنے نئے کیسز ایک دن کے دوران جنم دیتا ہے. اگر a ایک اوسط شخص کے ذریعہ روزانہ ممکنہ طور پر متعدی رابطوں کی اوسط تعداد ہے، اور p یہ امکان ہے کہ اس طرح کا رابطہ درحقیقت ٹرانسمیشن کا باعث بنتا ہے، تو=ap۔ جیسے جیسے حساسیت کی مقدار بتدریج کم ہوتی جاتی ہے، ہمیں آبادی کے اس حصے سے ضرب دے کر اس میں ترمیم کرنی ہوگی جو ابھی تک حساس ہے۔ اگر کل آبادی N ہے تو یہ حصہ S(t)/N ہے اور فارمولا بن جاتا ہے۔

باقی مساوات کو ترتیب دینے کے لیے ہمیں جنریشن ٹائم ٹی جنریشن کی بھی ضرورت ہے، یعنی انفیکشن سے صحت یاب ہونے میں لگنے والا اوسط وقت۔ باقی مساوات پھر ہیں۔

جہاں σ {{0}}/Tgeneration اور 0 فرق کی نشاندہی کرتا ہے۔ مساوات کو سمجھنا بدیہی طور پر آسان ہے، واقعات کو مسلسل S سے نکال کر I میں شامل کیا جاتا ہے، اور اس کے ساتھ ہی، بازیافت کرنے والے افراد کا ایک کرنٹ ہے جو I کو σI کی شرح پر چھوڑ دیتا ہے اور اس کی بجائے R میں ظاہر ہوتا ہے۔

تصویر 1. بازیاب شدہ R اور پھیلاؤ I کے گراف۔ (a) مختلف SIR ماڈلز کے لیے بازیافت کے گراف (کل آبادی کے ایک حصے کے طور پر) اور R0=1 کی ایک مقررہ قیمت۔66۔ سب سے پہلے، ہم معیاری SIR، پھر S-SIR، اور آخر میں SIR کو (8) کے پیرامیٹرز کے ساتھ مصنوعی جراثیم کشی سے استثنیٰ (ASI) دکھاتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ وہ تقریباً یکساں طور پر شروع ہوتے ہیں لیکن یہ کہ بعد والے دو پہلے سے بہت پہلے نیچے کی طرف جھک جاتے ہیں، جو کلاسیکی ہرڈ-ایمونٹی تھریشولڈ (HIT) کو اوور شوٹ کرتے ہیں، جب کہ دوسرے دو ایک دوسرے کے قریب رہتے ہیں اور کلاسیکی HIT سے نیچے کی سطح پر آتے ہیں۔ (b) پھیلاؤ I کے لئے متعلقہ منحنی خطوط (Sgraphs کو تصویر 2 میں آزادانہ طور پر دکھایا گیا ہے)۔

SIR، اور اس کی ہماری توسیعات، اس لحاظ سے تعییناتی ہیں کہ اگر ہم اسے دو بار چلاتے ہیں، تو پیداوار ایک جیسی ہوتی ہے۔ خیال کیا جاتا ہے کہ ایسے ماڈل بڑے پھیلنے کے دوران اچھی طرح کام کرتے ہیں، جہاں بڑی تعداد کا قانون لاگو ہوتا ہے [5، 11]۔ ہمارے تمام نتائج اس صورتحال سے متعلق ہیں۔ ماڈلنگ کے لیے مثال کے طور پر، ابتدائی مرحلہ یا گھریلو ٹرانسمیشن، دیگر قسم کے ماڈل استعمال کیے جاتے ہیں۔ نئی بیماری کے لیے سب سے فطری ابتدائی حالت I(0)=کو مقرر کرنا ہے جہاں n << N represents a small number of import cases arriving at time t = 0, and then set S(0) = N − n and R(0) = 0 (so everybody else is initially susceptible and no-one has yet recovered). The value of n is completely irrelevant to the shape of the curves that follow, a low value of n only gives the equation system a slower start so it takes a while longer for the outbreak to reach a certain value. Once this happens, the curves look the same independent of the value n. See the blue graphs in Fig 1 for some typical examples of R-curves and I-curves. In this model, R is always increasing and levels out on a number which is called "the final size of the pandemic" (see Fig 1a). S approximatively looks like N − R, since the prevalence I at any given time is small in comparison with the total population. The incidence ν typically looks just like I, albeit with a lower magnitude.

2.1 COVID-19 کے لیے عصری ماڈلز

پیشہ ورانہ ماڈلنگ ٹیموں کے ذریعہ استعمال کیے جانے والے عصری ماڈلز میں عام طور پر SIR کے مقابلے بہت زیادہ کمپارٹمنٹ ہوتے ہیں، مثال کے طور پر عمر کی سطح بندی، متغیر سرگرمی کی سطح، جغرافیائی علاقوں، ICU کی ضرورت والے لوگوں کے کمپارٹمنٹ، اور مرنے والوں کے لیے کمپارٹمنٹس۔ مثال کے طور پر، امپیریل کالج کووڈ{{0}} رسپانس ٹیم [20] کے ممبران کی طرف سے شائع کردہ ماڈل کی جڑ میں ایک بنیادی SIR ہے (صفحہ 9 کے ساتھ ساتھ S2 تصویر کو ضمنی مواد میں دیکھیں۔ 20])، اور یہی ایک معروف سویڈش ماڈلنگ ٹیم کے استعمال کردہ ماڈل [21] کے لیے بھی ہے، جو سویڈن میں پہلی لہر کے دوران ICU قبضے اور اموات کو اعلیٰ درستگی کے ساتھ فٹ کرنے میں کامیاب رہا۔ مؤخر الذکر ماڈل مختلف خطوں اور ان کے درمیان تعامل کے نمونوں کو بھی مدنظر رکھتا ہے، لیکن علاقائی حرکیات ایک سادہ SEIR ہے۔ انکیوبیشن کے وقت کو شامل کرتے ہوئے، "ایکسپوزڈ" کے لیے ایک کمپارٹمنٹ E شامل کرنا بھی عام ہے، (جیسا کہ مذکورہ بالا دو مثالوں میں کیا گیا ہے)۔ تاہم، جیسا کہ ہم سیکشن 4 میں دکھائیں گے، اس کا مجموعی رویے پر ایک محدود اثر پڑتا ہے۔ اس سے، ہمارا مطلب ہے کہ، SEIR کے لیے پیرامیٹر کی قدروں کے ہر سیٹ (R0، انکیوبیشن ٹائم، وغیرہ) کے لیے، SIR (اور اس کے برعکس) کے ساتھ تقریباً یکساں وکر حاصل کرنا ممکن ہے، اگر ہمیں پیرامیٹر کو تبدیل کرنے کی اجازت دی جائے۔ قدرے قدرے چونکہ ان پیرامیٹرز کی صحیح قدر کبھی معلوم نہیں ہوتی، اس کا مطلب ہے کہ عملی مقاصد کے لیے کوئی بھی کم از کم مجموعی رجحانات کو سمجھنے کے لیے، SEIR کی طرح SIR پر بھی انحصار کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، تصویر 3 میں ہم SEIR اور SIR کی R{10} قدروں کے ساتھ ایک مثال دکھاتے ہیں جو کہ 1% کا فرق ہے، اور گراف تقریباً ایک جیسے ہیں۔ مثال کے طور پر، وبائی مرض کے حتمی سائز میں 1.5% سے بھی کم فرق ہے۔ مزید برآں، شدید بیمار اور اموات سے متعلق کمپارٹمنٹس بھی مجموعی رویے پر معمولی اثر ڈالتے ہیں، صرف اس وجہ سے کہ متاثرہ افراد کا صرف ایک چھوٹا سا حصہ ان کمپارٹمنٹس میں ختم ہوگا۔ اس کی بنیاد پر، ہم یہ استدلال کرتے ہیں کہ عمومی مجموعی رویے کو سمجھنے کے لیے، جیسا کہ ہم یہاں دلچسپی رکھتے ہیں، آسان SIR ماڈل کا مطالعہ کرنا کافی ہے۔ SIR/SEIR قسم کے ماڈلز کا استعمال کرتے ہوئے SARS-CoV-2 کی پیشین گوئی/ماڈل کرنے کی دیگر کوششوں کے لیے دیکھیں مثلاً [22، 23]۔

اس کے برعکس، دیگر اقسام کی متفاوت خصوصیات جیسے متغیر سرگرمی کی سطح اور عمر کے گروپوں کے درمیان مختلف تعامل کے نمونے، ماڈل کے منحنی خطوط پر قابل ذکر اثر ڈالتے ہیں۔ مثال کے طور پر، عمر کی سرگرمی نے SEIR کو Britton et کے ذریعے مرتب کیا۔ al [10] یکساں ان پٹ پیرامیٹرز کے پیش نظر، معیاری SIR سے تقریباً 35% کم واقعات کی چوٹی ہے۔ یہ [10] کے نتائج سے مطابقت رکھتا ہے، جہاں SIR کی بنیاد پر پیشین گوئی (1) کے مقابلے میں عمر کی سرگرمی کے ماڈل کے لیے ہرڈ امیونٹی تھریشولڈ میں تقریباً 30% کی کمی دیکھی گئی ہے۔ اس پر مزید بحث سیکشن 4.2 میں کی جائے گی۔ نیز، متغیر حساسیت کا ایک بڑا اثر ہوتا ہے، لیکن اس پر پہلے ہی تعارف میں بحث ہو چکی ہے اور اس کا مزید تجزیہ سیکشن 3 میں کیا گیا ہے۔

2.2 ماڈل بمقابلہ حقیقت کی مماثلت؟

زیادہ جدید ماڈلز COVID-19 کے پھیلاؤ کو درست طریقے سے بیان کرتے ہیں یا نہیں، اس کا تعین کرنا مشکل ہے، کیونکہ کوئی ہمیشہ یہ بحث کر سکتا ہے کہ غیر دواسازی مداخلت (NPIs) کے ساتھ ساتھ رضاکارانہ رویے میں تبدیلیوں کا بھی بڑا اثر ہوا ہے۔ قطعی جواب کے دعوے کے بغیر، سویڈن کا معاملہ اس کی نرمی کی حکمت عملی کی وجہ سے دلچسپ ہے، جسے 2020-2021 کے دوران تقریباً مستقل رکھا گیا۔ خاص طور پر، اسکول کھلے رکھے گئے، جو لوگ گھر سے کام نہیں کر سکتے تھے انہیں کام پر جانے کی ترغیب دی گئی، متاثرہ گھرانوں کے خاندان کے افراد کو کام کرنے یا اسکول جانے کا پابند کیا گیا، اور بڑے پیمانے پر فیس ماسک کا استعمال کبھی بھی نافذ نہیں کیا گیا، جس سے ملک کو مثالی بنایا گیا۔ اصل ڈیٹا کے ساتھ ماڈلز کا موازنہ کرنے کے لیے۔ ناکافی جانچ کی وجہ سے، کیسز کی ٹائم سیریز محدود اہمیت کی حامل ہے، لیکن خون کے نمونوں سے سیروپریویلنس کی پیمائش قابل قدر معلومات فراہم کرتی ہے کیونکہ یہ ثابت ہو چکا ہے کہ زیادہ تر لوگ جنہیں COVID-19 ہوتا ہے وہ بھی اینٹی باڈیز تیار کرتے ہیں [ 24] اور یہ کہ یہ اینٹی باڈیز کم از کم 9 ماہ تک رہتی ہیں [25، 26]۔ سویڈش پبلک ہیلتھ ایجنسی [27] کے شائع کردہ نتائج بتاتے ہیں کہ 2020 کی پہلی لہر کے بعد اسٹاک ہوم کے علاقے میں تقریباً 11% کو COVID-19 تھا، جو کہ دوسری لہر کے بعد فروری 2021 میں تقریباً 22% تک پہنچ گیا۔ سویڈن میں ہسپتال کے عملے میں بھی (فیس ماسک کا استعمال نہ کرنا)، پہلی لہر کے بعد پھیلاؤ تقریباً 20% تھا [26]، متاثرہ گھرانوں کے مشاہدات کے مطابق دوسری جگہوں سے [28]۔

cistanche tubulosa - مدافعتی نظام کو بہتر بنانا

تاہم، Sjo¨din et کا ماڈل۔ ال. 60-79 سال کی عمر (یہ منظرنامہ d کے لیے ہے جس میں ICU- قبضے اور موت کو درست طریقے سے فٹ کیا گیا ہے، تصویر 2b دیکھیں، اس بات کو ذہن میں رکھتے ہوئے کہ اسٹاک ہوم کے علاقے میں 2.4 ملین باشندے ہیں)۔ اسی لائن کے ساتھ، Britton et. al [10] اندازہ لگایا گیا ہے کہ مہینوں کے معاملے میں یہ بیماری تقریباً 43% کل متاثرہ افراد تک پہنچ سکتی ہے۔ اگرچہ مصنفین اس بات پر زور دیتے ہیں کہ یہ کوئی حقیقی پیشین گوئی نہیں ہے، لیکن یہ COVID-19 کے حقیقت پسندانہ پیرامیٹرز پر مبنی ہے۔ امپیریل کالج کی مشہور رپورٹ 9 [29] نے ایک زیادہ جدید نام نہاد "ایجنٹ پر مبنی ماڈل" کی بنیاد پر "کچھ نہ کرنے والے" منظر نامے میں کل 81% متاثر ہونے کی پیش گوئی کی ہے جو گھریلو رابطوں کو بھی الگ سے علاج کرتا ہے۔ رپورٹ میں ٹیبل 3 کے مطابق، موت کی تعداد اور چوٹی کے ICU کی صلاحیت کو بالترتیب 50% اور 81% تک کم کیا جا سکتا ہے، سب سے زیادہ مؤثر NPI منظر نامے میں، جو یقینی طور پر سویڈن میں لاگو کیے گئے اس سے کہیں زیادہ ہے۔ تاہم، فروری 2021 تک، جب اصل ووہان کا تناؤ کم ہو رہا تھا [30]، یہ کم پیشین گوئیاں اصل اعداد و شمار کو تقریباً 4 (موت) اور 10 (ICU) (جب براہ راست سٹاک ہوم کاؤنٹی میں ترجمہ کیا گیا) کے عنصر سے زیادہ اندازہ لگاتی ہیں۔

تصویر 2. تصویر 1 کے 3 گرافوں کے مطابق حساس افراد کے گراف S. S – منحنی خطوط۔ جیسا کہ تصویر 1 میں، نیلے سیاہ اور گلابی کو N کی تقسیم کے ذریعے معمول بنایا گیا ہے۔ اس طرح سیاہ وکر کل آبادی کا تناسب ظاہر کرتا ہے۔ وائرس کے لئے حساس. نوٹ کریں کہ جب وبائی بیماری ختم ہو جاتی ہے، تقریباً 68% اب بھی حساس ہوتے ہیں، کلاسیکی SIR کے بالکل برعکس جو کہ تقریباً 34% کی سطح پر ہے۔ گلابی منحنی خطوط یہ فرض کرتے ہوئے شروع ہوتا ہے کہ 57% میں مصنوعی جراثیمی قوت مدافعت ہے، اور اس لیے اس کی ابتدائی قیمت 43% ہے (اس نمبر کا انتخاب فارمولہ (8 فیصد) کے ذریعے کیا گیا تھا)۔ نوٹ کریں کہ گلابی وکر بالکل سیاہ کی طرح لگتا ہے سوائے عمودی ترجمے کے، جو اس مضمون کے کلیدی نتائج کو واضح کرتا ہے۔ S-SIR ماڈل میں p1=1 ("سپر حساس" کا لیبل لگا ہوا)، p2=0.1 ("نارمل" کا لیبل لگا ہوا)، اور p{{ سے متعلق تین ذیلی گروپس S1، S2، اور S3 ہیں۔ 17}}.02 ("اچھی طرح سے محفوظ" کا لیبل لگا ہوا)۔ یہاں ہم نے ہر متعلقہ ذیلی گروپ میں لوگوں کی تعداد کے ساتھ معمول بنا لیا ہے، اس لیے تمام منحنی خطوط 1 سے شروع ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ آخر الذکر دو ذیلی گروپوں میں پھیلاؤ جیسے ہی انتہائی حساس گروپ میں برابر ہوتا ہے۔

یہاں بات کسی خاص ماڈل پر تنقید کرنے کا نہیں ہے، اور واضح طور پر صرف سویڈن کا معاملہ یہ ثابت نہیں کر سکتا کہ ماڈلز درست ہیں یا غلط، جیسا کہ شروع میں ذکر کیا گیا ہے۔ تاہم، اصل سویڈش اعداد و شمار اور اوپر بیان کردہ مختلف ماڈل کے نتائج کے درمیان بڑے پیمانے پر تضاد کی بنیاد پر، یہ ایک جائز سوال ہے کہ کیا "عصری ماڈلز" میں معاشرے کے پھیلاؤ اور وبائی مرض کے حتمی سائز کو نمایاں طور پر بڑھا چڑھا کر پیش کرنے کا رجحان ہے۔ ہمیں اس بات کا امکان ہے کہ جواب ہاں میں ہے، اور اس مفروضے کی مزید حمایت [4] میں دی گئی ہے۔ اس مقالے میں ہم یہ ظاہر کرتے ہیں کہ متغیر حساسیت ایک ایسا عنصر ہے جو اس رجحان میں حصہ ڈالتا ہے۔

2.3 پری امیونٹی، سپر اسپریڈرز اور دیگر غیر ہم آہنگی۔

منحنی خطوط کو کم کرنے کے لیے ہم مساوات کے نظام (3) اور (4) کو کیسے تبدیل کر سکتے ہیں؟ سب سے آسان آپشن یہ ہے کہ یہ فرض کیا جائے کہ آبادی کے ایک مخصوص حصے میں θ کو جراثیم سے پاک کرنے کی کوئی نہ کوئی صورت ہے تاکہ وہ وائرس سے متاثر نہ ہو سکیں۔ ریاضیاتی طور پر، یہ آسانی سے ابتدائی حالات کو اپ ڈیٹ کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔

جہاں ω {{0}} − θ ابتدائی طور پر حساس کا حصہ ہے۔ تاہم، یہ زیادہ حقیقت پسندانہ نہیں ہے کیونکہ استثنیٰ عام طور پر بائنری نہیں ہوتا، یعنی 0% یا 100% (نام نہاد جراثیم کشی کی قوت مدافعت)۔ یہ مفروضہ کہ کچھ لوگ دوسروں کے مقابلے میں زیادہ حساس ہوتے ہیں پھر بائنری استثنیٰ سے کہیں زیادہ قابل فہم ہے۔ SARS-CoV-2 کے خاص معاملے میں، یہ مفروضہ کہ بعض افراد میں کسی نہ کسی قسم کی پری امیونٹی ہوتی ہے، اس کی وضاحت کے طور پر مختلف اشاعتوں میں تجویز کیا گیا تھا، کم از کم کچھ کے مطابق، غیر متوقع طور پر ہلکی ابتدائی انفیکشن لہروں کے لیے، مثال [31]۔ اس مقالے میں متعدد مطالعات کی فہرست بھی دی گئی ہے جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ کچھ لوگوں کو کچھ ترجیحی ٹی سیل استثنیٰ حاصل تھا۔ اس کے بعد سے، مختلف مضامین نے مختلف میکانزم کا مظاہرہ کیا ہے جو بعض افراد کو SARS-CoV-2، مثلاً [15–18] کے لیے کم و بیش حساس بناتے ہیں۔ یہ بھی اچھی طرح سے قائم ہے کہ انفیکشن کی سطح ڈرامائی طور پر مختلف ہوتی ہے، جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے (مثلاً [32] دیکھیں)۔ اس کے علاوہ، یہ اس بات سے غیر متعلق لگتا ہے کہ وہ کتنے بیمار ہو جاتے ہیں۔ بہت زیادہ وائرل بوجھ والے بہت سے افراد حتی کہ غیر علامتی ہوتے ہیں۔ اس کی روشنی میں، سب سے زیادہ امکانی مفروضہ یہ ہے کہ جس طرح سے وائرس انسان میں داخل ہوتا ہے وہ بڑے انفرادی تغیرات کا شکار ہوتا ہے۔

COVID-19، یا اس معاملے کے لیے کسی متعدی بیماری کے پھیلاؤ کے لیے ایک زیادہ حقیقت پسندانہ ماڈل بنانے کے لیے، یہ مناسب ہے کہ کمپارٹمنٹس S اور I کو کئی ذیلی کمپارٹمنٹس S1 میں تقسیم کیا جائے۔ . .، SJ اور I1، . . .، IK جہاں ہر ڈبے میں لوگوں کی حساسیت/انفیکٹیٹی کی مختلف سطح ہوتی ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ بیماری کے پھیلاؤ کے لیے متعلقہ مساوات کا نظام کیسے ترتیب دیا جائے، یاد رکھیں کہ a ایک فرد کے روزانہ رابطوں کی تعداد تھی۔ اب ہم pjk کو یہ امکان بتاتے ہیں کہ جب Sj میں کوئی فرد Ik میں سے کسی سے ملتا ہے تو اس طرح کا رابطہ ٹرانسمیشن کا باعث بنتا ہے۔ گروپ Sj سے آنے والا واقعہ νj پھر بن جاتا ہے۔

(cf (3))۔ چونکہ ہم متعدی اور حساسیت کے درمیان کوئی تعلق نہیں سمجھتے، اس لیے نئے انفیکشن کی کل مقدار ν1 + ۔ . . + νJ پھر گروپوں میں تقسیم کیا جاتا ہے I1، ۔ . .، ان کے رشتہ دار سائز کے مطابق IK۔ (4) میں بقیہ مساوات اس نئی ویکٹر ترتیب میں آسانی سے تبدیل ہو جاتی ہیں، ہم Sec کا حوالہ دیتے ہیں۔ تفصیلات کے لیے S1 فائل میں 1۔ آنے والے حصے میں، ہم مساوات کے اس نظام کے رویے کا تجزیہ کریں گے، اور سیکشن 4 میں ہم دیگر توسیعات جیسے کہ SEIR اور متغیر سرگرمی کی سطحوں پر بھی بات کریں گے۔

3 اہم نتائج

اس تحقیق کا بنیادی نکتہ یہ ہے کہ مذکورہ قسم کے SIR اور SEIR دونوں میں توسیع مجموعی طور پر منحنی خطوط پیدا کرتی ہے جو کہ بنیادی SIR سے معمولی طور پر مختلف ہوتے ہیں، بشرطیکہ مصنوعی جراثیم کشی سے استثنیٰ (ASI) کی سطح شامل ہو۔ سب سے پہلے، S1 فائل کے سیکشن 1 میں تفصیلات ترتیب دینے کے بعد، ہم تجویز 1.1 میں ثابت کرتے ہیں کہ I کو مختلف ذیلی حصوں میں تقسیم کرنے کا کوئی اثر نہیں ہے، مزید [8، 9، 11] میں نتائج کی حمایت کرتے ہیں۔ دوسری اصطلاحات میں، "سپر اسپریڈرز" کا وجود کسی بھی قابل ذکر طریقے سے بیماری کے پھیلاؤ کی حرکیات کو متاثر نہیں کرتا ہے۔ پیچیدگی کی اس تہہ کو ہٹانا، Eq (6) کو آسان بناتا ہے۔

جہاں pj ٹرانسمیشن کا امکان ہے جب Sj گروپ میں ایک حساس فرد کسی "اوسط" متعدی فرد کا سامنا کرتا ہے۔ ہم مساوات کے مکمل نظام کے لیے S1 فائل میں Eq (14)-(16) کا حوالہ دیتے ہیں، جسے ہم "Susceptibility-Stratified SIR" کے لیے S-SIR کا لیبل دیتے ہیں۔ یہ ایک بہت ہی دلچسپ حقیقت ہے کہ ذیلی حصوں میں S کی تقسیم، I کے برعکس، ریاضی کے لحاظ سے ایک آسان مساوات کے نظام میں مزید کم نہیں ہو سکتی۔ تاہم، اور یہ اس مقالے کا کلیدی نتیجہ ہے، ہم ریاضیاتی طور پر یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ S-SIR کا مجموعی طرز عمل (مسلسل I اور برآمد شدہ R کے لحاظ سے) بنیادی SIR (3) اور (4) سے معمولی طور پر مختلف ہے۔ ابتدائی حالات میں ASI، جیسا کہ ہم نے (5) میں کیا تھا۔ یہ تھیوریم 2.1 کا جوہر ہے، جو S1 فائل کے سیکشن 2 میں پایا جاتا ہے۔ دیئے گئے امکانات p1، . . ., pJ، تھیوریم ٹرانسمیشن گتانک کی مناسب اقدار کے لیے فارمولے بھی فراہم کرتا ہے (جس کا استعمال واقعات ν (3) میں حساب کرنے کے لیے کیا جاتا ہے) اور مصنوعی جراثیم کشی سے استثنیٰ θ (ابتدائی حالات میں استعمال کیا جاتا ہے (5))، حسب ذیل:

جہاں ω {{0}} − θ اور wj ابتدائی طور پر Sj سے تعلق رکھنے والی آبادی کا حصہ ہے۔ wj=Sj(0)/N ان نتائج کی ایک سادہ مثال S1 فائل کے سیکشن 1.3 میں ملتی ہے۔ θ=1 − ω کی تشریح کے ساتھ محتاط رہنا ضروری ہے جو کہ اصل میں جراثیم کش قوت مدافعت رکھتے ہیں، کیونکہ حقیقت میں θN مدافعتی اور ωN حساسیت کی تقسیم نہیں ہے، یہی وجہ ہے کہ ہم ASI کا مخفف منتخب کیا ہے۔ مصنوعی جراثیمی قوت مدافعت یہ نتائج انجیر 1 اور 2 میں بیان کیے گئے ہیں۔ خاص طور پر نوٹ کریں کہ حیرت کی بات یہ ہے کہ جیسے ہی سب سے زیادہ کمزور حساسیت والے گروپ (تصویر 2 میں انتہائی حساس افراد کا لیبل لگایا گیا ہے) انفیکشن کے لیے نئے افراد کی تعداد ختم ہو جاتی ہے، دوسرے تمام گروہوں میں ٹرانسمیشن بند ہو جاتا ہے۔ ٹھیک ہے یہ رویہ عام ہے، مختلف اقدار کے ساتھ اسی طرح کی مثال کے لیے S1 فائل میں S1 تصویر دیکھیں۔ ہم نے SEIR کے ساتھ ماڈلنگ کرتے وقت بھی اسی رجحان کا مشاہدہ کیا ہے اور اس وقت بھی جب مثال کے طور پر مختلف عمر کے گروپس اور متغیر سرگرمی کی سطحیں شامل ہیں، مندرجہ ذیل [10]؛ اس طرح کی بہت سی تہوں والے ماڈل آؤٹ پٹ تیار کرتے ہیں جو ASI کے ساتھ SIR کے آؤٹ پٹ سے عملی طور پر الگ نہیں ہوتے، یعنی (3)–(5)۔ ہم ایک عددی مشاہدے کے طور پر چھوڑتے ہیں جس پر ہم سیکشن 4 میں مزید بحث کرتے ہیں۔ خاص طور پر، کسی معاشرے میں ASI θ کی تخمینی سطح کو دیکھتے ہوئے، یہ ریاضیاتی طور پر ناممکن ہے کہ θ کا کتنا حصہ عمر اور رویے میں غیر ہم آہنگی کی وجہ سے ہوتا ہے، اور حساسیت میں تغیرات سے کتنا آتا ہے۔ اتفاق سے، ہر مقالے کے آخر میں [1–3]، کرمیک اور میک کینڈرک اس بات پر زور دیتے ہیں کہ ان کے ماڈل میں ایک کمزوری یہ ہے کہ وہ یکساں حساسیت کو فرض کرتے ہیں، جسے وہ بہت سے معاملات میں غیر حقیقی سمجھتے ہیں۔ تاہم، ایسا لگتا ہے کہ وہ اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے کبھی نہیں ملے، اور ہمیں ادب میں کہیں اور بھی اس صورت حال سے نمٹنے کے لیے ایک سخت ریاضیاتی تجزیہ نہیں ملا ہے۔ خاص طور پر، فارمولہ 1 − 1/R0 for the Herd-Immunity Threshold (HIT)، جو ان کے بنیادی کاغذات سے نکلتا ہے، بہت اچھی طرح سے غلط ہو سکتا ہے، جیسا کہ [10] میں تجویز کیا گیا ہے۔ آنے والے حصے میں، ہم ASI کو مدنظر رکھتے ہوئے اس فارمولے کا ایک بہتر ورژن اخذ کرتے ہیں۔

3.1 فارمولے برائے R0 اور ریوڑ کی قوت مدافعت کی حد

یہ دیکھنا آسان ہے کہ جنریشن ٹائم Tgeneration (ذیل میں متعارف کرایا گیا ہے) اوسط وقت کے ساتھ مطابقت رکھتا ہے جب ایک متاثرہ فرد متعدی رہتا ہے۔ چونکہ انفیکشن کی شرح ہے، ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ معیاری SIR (3) اور (4) کے لیے R0=نسل، مکمل طور پر حساس آبادی کو فرض کرتے ہوئے۔ تاہم، ASI θ کی موجودگی میں، انفیکشن کی اصل شرح صرف (1 − θ) ہے اور اس لیے R0- ویلیو کا درست فارمولا بن جاتا ہے۔

R{{0}} کے لیے مندرجہ بالا قدر وہ قدر ہے جس کا تخمینہ مثال کے طور پر EpiEstim [12] یا [13] کے ذریعہ ماڈل (3) اور (4) کے ذریعہ تیار کردہ ریئل ٹائم سیریز سے لگایا جائے گا۔ ڈیٹا (5) ریاضی کے لحاظ سے، R0 کو نئے انفیکشنز کی تعداد کے طور پر بیان کیا جاتا ہے جو کہ ایک متاثرہ فرد بیماری سے متاثر قوت مدافعت کی تعمیر شروع ہونے سے پہلے جنم دیتا ہے۔ (اس کی گنتی کرنے کے لیے، پہلے حل کریں I 0 (t) {{10}} −σI(t)، دیا گیا I(0)=1، یاد کرتے ہوئے کہ σ {{13} }/Tgeneration، اور پھر نتیجے میں آنے والے واقعات ν کو مربوط کریں، جیسا کہ (3) نے دیا ہے، جبکہ S(t) کو S(0)=ωN پر طے کرتے ہوئے، اسی طرح، کوئی دیکھتا ہے کہ مؤثر R-value، مندرجہ بالا ماڈل میں Re(t) کی نشاندہی کی گئی ہے۔

اصطلاح "ریوڑ سے استثنیٰ" کے مختلف معنی ہیں [33]۔ ریاضیاتی وبائی امراض میں، ایک خاص ماڈل اور ایک نئے وائرس کو دیکھتے ہوئے، ہرڈ-ایمونٹی تھریشولڈ کو Re(t0)=1 حاصل کرنے کے لیے درکار انفیکشن اور بازیافت کی کل تعداد کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ چونکہ

(یاد کریں (4))، ہم دیکھتے ہیں کہ یہ اس نقطہ کے ساتھ موافق ہے جس پر قدرتی طور پر متعدی لہر کم ہونا شروع ہو جاتی ہے۔ اس مقام سے آگے، کوئی بھی درآمدی معاملہ نئے وباء کو جنم نہیں دے گا۔ ہم اس قدر کو HIT سے ظاہر کرتے ہیں۔

SIR ماڈل میں، یہ فرض کیا جاتا ہے کہ افراد یکساں طور پر گھل مل جاتے ہیں اور صحت یاب ہونے والے افراد کے پاس حفاظتی اینٹی باڈیز ہوتی ہیں (یعنی جراثیم سے پاک کرنے والی قوت)۔ اگرچہ یہ معلوم ہے کہ اینٹی باڈیز وقت کے ساتھ کم ہوتی جاتی ہیں، کم از کم SARS-CoV-2 کے لیے، یہ زوال ایک وباء کے دورانیے کے مقابلے میں بہت زیادہ آہستہ ہوتا ہے [25]، اور اس لیے مؤخر الذکر مفروضہ اس کی بحث کے لیے معقول ہے۔ ایک مختصر وقت کے فریم میں ریوڑ سے استثنیٰ کی حد۔ تاہم، ہم اس بات پر زور دینا چاہتے ہیں کہ زوال پذیر ہونے کا مطلب یہ ہے کہ ریوڑ کی قوت مدافعت کبھی بھی مستحکم حالت نہیں ہے، لیکن وقت کے ساتھ ساتھ ختم ہو جائے گی، اور اس لیے یہ حقیقت کہ ریوڑ کی قوت مدافعت کسی خاص لہر کے دوران پہنچ جاتی ہے، مستقبل کی لہروں کو نہیں روکتی، جو یا تو ہو سکتی ہے۔ اینٹی باڈیز کا کم ہونا یا نئی شکلوں کا ظہور۔ اب فرض کریں کہ ASI کی ایک مخصوص سطح کے ساتھ SIR-ماڈل دیے گئے وباء کو درست طریقے سے بیان کرتا ہے۔ ہرڈ امیونٹی تھریشولڈ HIT پھر S(0)/N − S(t0)/N کے برابر ہوتا ہے جہاں t0 وہ ٹائم پوائنٹ ہوتا ہے جب ریوڑ کے مدافعتی حد تک پہنچ جاتی ہے، جو Re(t{{10})=1 کو حل کرکے تلاش کیا جاسکتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، HIT اس وقت t0 کے حساس افراد کے S(t0)/N کے درمیان فرق ہے جب ریوڑ کی قوت مدافعت تک پہنچ جاتی ہے، اور ابتدائی طور پر حساس افراد کے کسر۔ ASI کے ساتھ SIR ماڈل میں، Re(t0)=1 کو حل کرنے سے مساوات S(t0)/N=1/ حاصل ہوتی ہے۔

Tgeneration، اور اس طرح ہم اخذ کرتے ہیں۔

جہاں ہم نے پہلے والے فارمولے (9) کو R0 کی تعریف کے طور پر استعمال کیا۔ یہ ہرڈ امیونٹی تھریشولڈ کا فارمولا ہے جو تعارف میں Eq (2) میں پیش کیا گیا ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ کلاسیکی فارمولہ (1)، جیسا کہ EpiEstim سے R0 کا تخمینہ دیا گیا ہے، ریوڑ کی قوت مدافعت کی حد سے زیادہ تخمینہ لگا رہا ہے۔ مزید اہم بات یہ ہے کہ یہ ہمیں HIT کی پیشن گوئی کرنے کی اجازت دیتا ہے، اس بات کو دیکھتے ہوئے کہ ASI پیرامیٹر θ=1 − ω کا اندازہ دستیاب ڈیٹا سے لگایا جا سکتا ہے۔ یہ کہ کلاسیکی فارمولہ گمراہ کن ہو سکتا ہے اس کی نشاندہی [14] سے پہلے کی جا چکی ہے، اور ایک حالیہ شراکت جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ HIT قدر (1) سے نمایاں طور پر کم ہو سکتا ہے [10]۔ یہ کام صرف ان ماڈلز کی جانچ کرکے اس کی وضاحت کرتے ہیں جن میں متفاوت خصوصیات شامل ہیں (بنیادی طور پر سماجی اختلاط کے نمونے، متغیر حساسیت نہیں)، اور اس وجہ سے یہ HIT کے حقیقی تخمینے کے لیے بہت کم رہنمائی فراہم کرتا ہے۔ فارمولا (2)، ہمارے علم کے مطابق، پہلی بار اس اثر کو ریاضی کا فارمولا دیا گیا ہے۔ خلاصہ یہ کہ ہم نے ASI کے ساتھ SIR ماڈل میں ہرڈ امیونٹی تھریشولڈ کے لیے ایک نیا فارمولہ اخذ کیا ہے۔ چونکہ سیکشن 3 کے نتائج سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یہ حساسیت سے متعلق سطحی SIR کا ایک اچھا تخمینہ ہے، اس لیے یہ مندرجہ بالا فارمولہ اس ماڈل پر بھی لاگو ہوتا ہے، ω (8) کے ذریعے دیا گیا ہے۔ سیکشن 4 میں ہم عددی طور پر یہ ظاہر کرتے ہیں کہ یہی نتیجہ دیگر متفاوتوں کے لیے بھی درست معلوم ہوتا ہے، اور اس لیے فارمولہ عام طور پر ریوڑ کی قوت مدافعت کی حد کا تخمینہ لگانے کے لیے ایک بہتر متبادل ہو سکتا ہے (یہ فرض کرتے ہوئے کہ θ کی قدر دستیاب ڈیٹا سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ )۔ یہ نوٹ کرنا اہم ہے کہ (10) اس مفروضے کے تحت لاگو ہوتا ہے کہ قدرتی پھیلاؤ سے استثنیٰ حاصل ہوتا ہے۔ ویکسین کے لیے ہرڈ امیونٹی کی حد اب بھی کلاسیکی فارمولے (1) کے ذریعے دی گئی ہے (یہ فرض کر کے کہ ویکسین جراثیم کشی سے استثنیٰ دیتی ہے)، جو S1 فائل کے سیکشن 1.2 میں دکھایا گیا ہے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ ویکسینیشن کے ذریعے ریوڑ سے استثنیٰ حاصل کرنا مشکل ہے، لیکن عملی طور پر ان نتائج کو قائم کرنے کے لیے مزید کام کی ضرورت ہے۔

3.2 نم کرنا اور وبائی مرض کا حتمی سائز

جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا ہے، متعدد کاموں نے یہ ثابت کیا ہے کہ متغیر حساسیت کا پھیلاؤ پر گہرا اثر پڑتا ہے۔ مندرجہ بالا نتائج سے، اب اس کی مقدار درست کی جا سکتی ہے۔ فرض کریں ð~S; ~ میں ~ RÞ ایک یکساں اور مکمل طور پر حساس آبادی میں SIR کا حل ہے (لہذا ~Sð{{0}}Þ ¼ N)، اور ~a کو متعلقہ ٹرانسمیشن کی شرح ہونے دیں۔ ASI θ کی ایک مقررہ قدر کو دیکھتے ہوئے، یہ دیکھنا آسان ہے کہ ðS؛ میں؛ RÞ ¼ ðo~S; o~میں o~ RÞ (3)–(5) کا حل ہے، جہاں ω=1 − θ اور a ¼ ~a=o۔ لہذا ASI کا اثر واقعی معیاری SIR منحنی خطوط کی بحالی کے سوا کچھ نہیں ہے۔ نوٹ کریں کہ ری اسکیلنگ سے R0 کی قدر تبدیل نہیں ہوتی، جو فارمولہ (9) کی وجہ سے دونوں صورتوں میں جنریشن ¼ ~aTgeneration کے ذریعے دی جاتی ہے۔ یہ بات مشہور ہے کہ عام SIR (نیز SEIR) میں وبائی مرض ~p ¼ ~ Rð1Þ=N کا حتمی سائز 1 کو حل کرکے دیا جاتا ہے۔

لہٰذا، ASI کے ساتھ SIR سے SIR میں حساسیت سے متعلق ہمارے بنیادی نتیجے کے ساتھ مل کر، ہم یہ نتیجہ نکالتے ہیں کہ مندرجہ بالا حل π S-SIR کے لیے وبائی مرض کے حتمی سائز کا ایک اچھا تخمینہ ہے ω (8) کے ذریعے دیا گیا ہے۔ .

4 مزید عام ماڈلز میں توسیع

COVID-19 جیسی بیماری کے لیے، ایک مختصر انکیوبیشن پیریڈ کے ساتھ اور اس کے بعد ایک چھوٹا متعدی وقفہ، SIR کے استعمال اور SEIR کے استعمال میں ماڈلنگ کے درمیان صرف معمولی فرق ہے، اور اس لیے ہم سمجھتے ہیں کہ اس مقالے کے کلیدی نتائج میں توسیع ہوتی ہے۔ اس ماڈل کے ساتھ ساتھ. اسی طرح، ہم نے عددی طور پر پایا ہے کہ متغیر عمر اور سرگرمی کی سطح کو مدنظر رکھتے ہوئے مزید جدید SEIR ماڈلز، SIR کی طرح برتاؤ کرتے ہیں اگر ہم ASI کو شامل کرتے ہیں۔ ہم ان مشاہدات کی باضابطہ توثیق کو ایک کھلے قیاس کے طور پر چھوڑتے ہیں اور خود کچھ مثالیں دکھاتے ہوئے اس پر قناعت کرتے ہیں۔

4.1 SEIR

SEIR میں R0 کے علاوہ دو کلیدی پیرامیٹرز ہیں، یعنی Tinfectious اور Tincubation، جہاں پہلا اوسط وقت ہے جب کوئی شخص متعدی ہوتا ہے اور بعد والا وہ وقت ہوتا ہے جب کوئی شخص متاثر ہوتا ہے جب تک کہ وہ متعدی نہ ہو جائے۔ ان کے تخمینے مختلف ہوتے ہیں، ہم یہاں Britton et کی پیروی کرتے ہیں۔ al [10] اور Tincubation=4 اور Tinfectious=3 سیٹ کریں۔ اس کے بعد نسل کا وقت برابر ہوتا ہے۔

جہاں جنریشن کا وقت اوسط وقت ہوتا ہے جو کسی شخص کے متاثر ہونے سے لے کر اس وقت تک لگتا ہے جب تک کہ وہ شخص دوسروں کو متاثر نہ کر دے۔ نوٹ کریں کہ یہ پچھلے حصوں میں Tgeneration کے انتخاب سے مطابقت رکھتا ہے۔ SEIR اور SIR COVID-19 کے لیے تقریباً یکساں آؤٹ پٹ دینے کی وجہ یہ ہے کہ دونوں بنیادی طور پر جنریشن اور R0 کی قدروں سے متعین ہوتے ہیں۔ سمجھ کے مطابق، ایک بڑے وباء کے دوران، اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ کوئی شخص 7 دنوں سے بیمار ہے اور ان 7 دنوں کے دوران R0 لوگوں کو متاثر کرتا ہے، یا اگر وہ 4 دن تک انکیوبیشن سے گزرتا ہے اور پھر R{11} کو متاثر کرتا ہے۔ بقیہ 3 دنوں کے دوران } لوگ۔ مثال کے طور پر، تصویر 3(a) پر غور کریں؛ ہم مندرجہ بالا فارمولوں کے مطابق (R0 طے شدہ) کے مطابق SIR اور SEIR کے لیے پیرامیٹرز کا انتخاب کرتے ہوئے ایک بہت ہی مماثل رویہ دیکھتے ہیں۔ مزید برآں، مفت پیرامیٹرز کی اجازت دے کر، SIR کو تقریباً SEIR جیسا برتاؤ کیا جا سکتا ہے (یہاں تک کہ ASI کو شامل کیے بغیر)۔ اس دعوے کی حمایت کرنے کے لیے، تصویر 3 میں نیلے اور سیاہ منحنی خطوط کے درمیان تقریباً کامل اوورلیپ نہیں، تخلیق نو کو فکسڈ رکھ کر اور R0 میں ایک فیصد ترمیم کرکے حاصل کیا گیا تھا۔ چونکہ ان پٹ پیرامیٹرز کی صحیح قدر حقیقت میں معلوم نہیں ہے، اس لیے ہم استدلال کرتے ہیں کہ یہ غیر متعلقہ ہے کہ کوئی SIR یا SEIR استعمال کرتا ہے، کم از کم SARS-CoV-2 اور ایک جیسی خصوصیات والے وائرس کی ماڈلنگ کے لیے۔ لہٰذا، اس مقالے کے مشاہدات کو SEIR تک بھی پھیلانا چاہیے، چاہے ہم اسے ریاضیاتی طور پر قائم نہ کر سکے۔

4.2 متضاد ماڈل

متغیر حساسیت صرف آبادی کی ہیٹروجنیٹی کی قسم نہیں ہے جو میکرو سطح پر خود کو ASI کے طور پر ظاہر کر سکتی ہے۔ [10] میں مصنفین مختلف عمر کے گروپوں کے درمیان متغیر تعامل کے نمونوں کو مدنظر رکھتے ہوئے ایک متضاد SEIR ماڈل تیار کرتے ہیں، اور ساتھ ہی یہ حقیقت بھی کہ ہر عمر گروپ کے لوگوں کے رابطے مختلف ہوتے ہیں۔ ہم نے ان کے ماڈل کو لاگو کیا اور پھر ASI کے ساتھ SIR کے پیرامیٹرز کی تلاش کی جو اسی طرح کی پیداوار حاصل کریں گے۔ نتیجہ تصویر 3 (b) میں دیکھا گیا ہے۔ ایک بار پھر، فرق اتنا ٹھیک ہے کہ عملی طور پر اس کا پتہ لگانا ناممکن ہوگا۔ اس کے بعد، جو کچھ ریاضیاتی ماڈلز میں آبادی کی ایک مخصوص سطح (پری) استثنیٰ کے طور پر ظاہر ہو سکتا ہے، درحقیقت، آبادی کی مختلف متفاوتیوں کا مرکب ہو سکتا ہے، جس میں متغیر حساسیت صرف ایک جزو ہے۔

تصویر 3. ASI کے ساتھ SIR کا استعمال کرتے ہوئے لگ بھگ۔ (a) R0=1.66 کے ساتھ SEIR اور Tinfectious + Tinfective=7 (نیلا)، اسی R0 کے ساتھ SIR اور Tgeneration=7 (سرخ)، اور آخر میں SIR 1% کم R0 کے ساتھ، وہی ٹی جنریشن (سیاہ)۔ (b) R{{10}}.66 اور Tinfectious + Tinfective=7 (نیلے) کے ساتھ عمر کے لحاظ سے ایکٹیویٹی اسٹریٹیفائیڈ SEIR؛ SIR ایک ہی Tgeneration استعمال کر رہا ہے لیکن ASI %25 اور قدرے مختلف R0 (سیاہ)۔

5 بحث

اس کی بہت سی وجوہات ہو سکتی ہیں جن کی وجہ سے کچھ لوگ کسی نئے وائرس کے انفیکشن کے لیے دوسروں کے مقابلے میں زیادہ حساس ہوتے ہیں، جن میں پیدائشی اور انکولی قوت مدافعت سے لے کر دوسرے معلوم وائرسز سے کراس ری ایکٹیو امیونٹی کے ساتھ ساتھ جینیاتی اختلافات بھی شامل ہیں۔ ایک نئی بیماری کے لیے، پہلے سے قوت مدافعت کو جراثیم سے پاک کرنا، یعنی وہ افراد جو مکمل طور پر مدافعتی ہیں بغیر کبھی وائرس کے، زیادہ تر امکان موجود نہیں ہے۔ اس مطالعے کا کلیدی نکتہ یہ ہے کہ آبادی کی سطح پر جراثیم سے پاک قوت مدافعت کا مشاہدہ کرنے کے لیے انفرادی استثنیٰ کو جراثیم سے پاک کرنے کی ضرورت نہیں ہے، جسے ہم نے ASI بنایا ہے۔ مصنوعی جراثیمی قوت مدافعت ہم ریاضی سے ظاہر کرتے ہیں کہ، ASI حاصل کرنے کے لیے، ہمیں صرف حساسیت میں اعتدال پسند تغیر کی ضرورت ہے۔ مزید یہ کہ، ہم عددی طور پر یہ ظاہر کرتے ہیں کہ آبادی کی دیگر اقسام، جیسے متغیر سماجی اختلاط کے نمونے بھی خود کو ASI کے طور پر ظاہر کرتے ہیں۔

cistanche پلانٹ میں مدافعتی نظام میں اضافہ

اس مقالے میں پائے جانے والے نتائج خود کو SARS-CoV-2 تک محدود نہیں رکھتے بلکہ بنیادی طور پر یہ ظاہر کرتے ہیں کہ ریوڑ کی قوت مدافعت کی حد کے لیے کلاسیکی فارمولے اور کیرمک اور میک کینڈرک کے مشہور مقالے میں جڑوں کے ساتھ متعدی بیماریوں کے پھیلاؤ کے ماڈل [1] ] حساسیت میں بڑے تغیرات کے تحت کسی بھی متعدی بیماری کو ماڈل کرنے سے قاصر ہیں، اور اس میں ترمیم کرنے کی ضرورت ہے جیسا کہ سیکشن 3.1 میں بیان کیا گیا ہے۔ بیماری پر قابو پانے کے موثر انتظام اور منصوبہ بندی کے لیے ہرڈ امیونٹی تھریشولڈ HIT کا تخمینہ بہت ضروری ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کوئی معاشرہ HIT تک پہنچنے سے پہلے لاک ڈاؤن کرنے کا فیصلہ کرتا ہے، تو یہ تقریباً یقینی ہے کہ بیماری دوبارہ ابھرے گی جب تک کہ NPIs کو غیر معینہ مدت تک برقرار نہ رکھا جائے۔ کلاسیکی فارمولہ (1) اب بھی بہت زیادہ استعمال میں ہے، اس حقیقت کے باوجود کہ یہ متعدد حد سے زیادہ آسان تصورات پر بھروسہ کرنے کے لیے جانا جاتا ہے جو غلط اشارے کا باعث بن سکتے ہیں۔ ہم نے ایک نیا فارمولہ قائم کیا ہے جسے ہم ثابت کرتے ہیں کہ متغیر حساسیت موجود ہونے پر لاگو ہوتا ہے۔ چونکہ ہم یہ ظاہر کرتے ہیں کہ ہمارا آسان ماڈل، ASI کے ساتھ SIR بھی ان ماڈلز کا ایک اچھا متبادل معلوم ہوتا ہے جس میں متغیر سماجی اختلاط کے نمونے شامل ہوتے ہیں، اس لیے یہ ممکن ہے کہ (2) اس سے زیادہ عام طور پر لاگو ہوتا ہے جو ہم ریاضی کے اعتبار سے ثابت کرنے کے قابل ہوتے ہیں۔

حوالہ جات

1. کرمیک ڈبلیو او، میک کینڈرک اے جی۔ وبائی امراض کے ریاضیاتی نظریہ میں شراکت۔ رائل سوسائٹی آف لندن سیریز اے کی کارروائی، ایک ریاضی اور جسمانی کردار کے کاغذات پر مشتمل ہے۔ 1927; 115(772):700–721۔

2. کرمیک ڈبلیو او، میک کینڈرک اے جی۔ وبائی امراض کے ریاضیاتی نظریہ میں شراکت II۔ وبائی امراض کا مسئلہ۔ رائل سوسائٹی آف لندن سیریز اے کی کارروائی، جس میں ریاضی اور جسمانی کردار کے کاغذات شامل ہیں۔ 1932; 138(834):55–83۔

3. کرمیک ڈبلیو او، میک کینڈرک اے جی۔ وبائی امراض III کے ریاضیاتی نظریہ میں شراکت۔ وبائی امراض کے مسئلے کا مزید مطالعہ۔ رائل سوسائٹی آف لندن سیریز اے کی کارروائی، ایک ریاضی اور جسمانی کردار کے کاغذات پر مشتمل ہے۔ 1933; 141(843):94–122۔

4. Carlsson M, So¨derberg-Naucle´r C. COVID-19 ماڈلنگ نتیجہ بمقابلہ حقیقت سویڈن وائرس 2022، 14(8)، MDPI https://doi.org/10.3390/v14081840 PMID: 36016462

5. Diekmann O، Heesterbeek H، Britton T. متعدی بیماری کی حرکیات کو سمجھنے کے لیے ریاضی کے اوزار۔ میں: متعدی بیماری کی حرکیات کو سمجھنے کے لیے ریاضی کے اوزار۔ پرنسٹن یونیورسٹی پریس؛ 2012.

6. Gerasimov A، Lebedev G، Lebedev M، Semenycheva I. COVID-19 حرکیات: ایک متضاد ماڈل۔ صحت عامہ میں فرنٹیئرز۔ 2021; 8:911۔ https://doi.org/10.3389/fpubh.2020.558368 PMID: 33585377

7. ہکسن آر، رابرٹس ایم۔ کس طرح حساسیت اور انفیکشن میں آبادی کا فرق وبائی امراض کو متاثر کرتا ہے۔ جرنل آف تھیوریٹیکل بائیولوجی۔ 2014; 350:70–80۔ https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2014.01.014 PMID: 24444766

8. ملر جے سی۔ متضاد انفیکشن اور حساسیت والی آبادیوں میں وبا کا سائز اور امکان۔ جسمانی جائزہ E. 2007; 76(1):010101۔ https://doi.org/10.1103/PhysRevE.76.010101 PMID: 17677396

9. ملر جے سی۔ وبائی امراض کے حتمی سائز کے اخذ پر ایک نوٹ۔ ریاضیاتی حیاتیات کا بلیٹن۔ 2012; 74 (9):2125–2141۔ https://doi.org/10.1007/s11538-012-9749-6 PMID: 22829179

10. Britton T, Ball F, Trapman P. ایک ریاضی کا نمونہ SARS-CoV-2 کے لیے ریوڑ کی قوت مدافعت پر آبادی کی نسبت کے اثر کو ظاہر کرتا ہے۔ سائنس۔ 2020; 369(6505):846–849۔ https://doi.org/10.1126/ science.abc6810 PMID: 32576668

11. Rousse F, et al. SARS-CoV کی ماڈلنگ میں سپر اسپریڈرز کا کردار-2۔ متعدی بیماری کی ماڈلنگ (2022)۔ https://doi.org/10.1016/j.idm.2022.10.003 PMID: 36267691

12. تھامسن آر، اسٹاکون جے، وین گالین آر ڈی، پولونسکی جے، کاموار زیڈ، ڈیمارش پی، وغیرہ۔ متعدی بیماری کے پھیلنے کے دوران وقت کے لحاظ سے مختلف تولیدی نمبروں کا بہتر اندازہ۔ وبائی امراض۔ 2019; 29:100356۔ https://doi.org/10.1016/j.epidem.2019.100356 PMID: 31624039

13. Cori A, Ferguson NM, Fraser C, Cauchemez S. ایک نیا فریم ورک اور سافٹ ویئر جو وبائی امراض کے دوران وقت کے لحاظ سے مختلف تولیدی تعداد کا تخمینہ لگاتا ہے۔ امریکی جرنل آف ایپیڈیمولوجی۔ 2013; 178(9):1505–1512۔ https://doi.org/10.1093/aje/kwt133 PMID: 24043437

14. Fox JP, Elveback L, Scott W, Gatewood L, Ackerman E. Herd immunity: بنیادی تصور اور صحت عامہ کے حفاظتی ٹیکوں کے طریقوں سے مطابقت۔ امریکی جرنل آف ایپیڈیمولوجی۔ 1971; 94(3):179–189۔ https://doi.org/10.1093/oxfordjournals.aje.a121310 PMID: 5093648

15. Dee K, Goldfarb DM, Haney J, Amat JA, Herder V, Stewart M, et al. انسانی rhinovirus انفیکشن سانس کے اپکلا کے اندر SARS-CoV-2 کی نقل کو روکتا ہے: COVID-19 وبائی امراض کے مضمرات۔ جرنل آف انفیکشن ڈیزیز۔ 2021۔ https://doi.org/10.1093/infdis/jiab147 PMID: 33754149

16. Ng KW، Faulkner N، Cornish GH، Rosa A، Harvey R، Hussain S، et al. انسانوں میں SARS-CoV-2 سے پہلے سے موجود اور ڈی نوو مزاحیہ استثنیٰ۔ سائنس۔ 2020; 370(6522):1339–1343۔ https://doi.org/10.1126/ science.abe1107 PMID: 33159009

17. Zeberg H, Pa¨a¨bo S. شدید COVID-19 کے خلاف تحفظ سے وابستہ ایک جینومک خطہ Neandertals سے وراثت میں ملا ہے۔ نیشنل اکیڈمی آف سائنسز کی کارروائی۔ 2021; 118(9)۔ https://doi.org/10۔ 1073/pans.2026309118 PMID: 33593941

18. کنڈو، ریا، وغیرہ۔ کراس ری ایکٹیو میموری ٹی سیلز کووڈ-19 رابطوں میں SARS-CoV-2 انفیکشن کے خلاف تحفظ سے وابستہ ہیں۔ نیچر کمیونیکیشنز 13.1 (2022): 1–8۔ https://doi.org/10.1038/s41467- 021-27674-x PMID: 35013199

19. Brauer F, Castillo-Chavez C, Feng Z. Epidemiology میں ریاضی کے ماڈل۔ اسپرنگر؛ 2019

20. واکر پی جی، وائٹیکر سی، واٹسن او جے، بیگولین ایم، ونسکل پی، ہیملیٹ اے، وغیرہ۔ COVID-19 کے اثرات اور کم اور درمیانی آمدنی والے ممالک میں تخفیف اور دبانے کی حکمت عملی۔ سائنس۔ 2020۔ https://doi.org/10.1126/science.abc0035 PMID: 32532802

21. Sjo¨din H, Johansson AF, Bra¨nnstro¨m Å, Farooq Z, Kriit HK, Wilder-Smith A, et al. غیر فارماسیوٹیکل تخفیف اور دبانے کے منظرناموں کے جواب میں سویڈن میں COVID-19 صحت کی دیکھ بھال کی مانگ اور اموات۔ ایپیڈیمولوجی کا بین الاقوامی جریدہ۔ 2020۔ https://doi.org/10.1093/ije/dyaa121 PMID: 32954400

22. حسن Md Nazmul, et al. ٹیکساس، USA میں ریاضیاتی ماڈلنگ اور Covid-19 پیشن گوئی: ایک پیشن گوئی ماڈل کا تجزیہ اور بیماری کے پھیلنے کا امکان۔ ڈیزاسٹر میڈیسن اور صحت عامہ کی تیاری (2021): 1-12۔ https://doi.org/10.1017/dmp.2021.151 PMID: 34006346

23. محمود ایم شہریار، وغیرہ۔ سیشن کے دوران کیلیفورنیا اور ہم میں ویکسین کی افادیت اور سارس کووی-2 کنٹرول: ایک ماڈلنگ اسٹڈی۔ متعدی بیماری کی ماڈلنگ 7.1 (2022): 62–81۔ https://doi.org/10۔ 1016/j.idm.2021.11.002 PMID: 34869959

24. Gudbjartsson DF، Norddahl GL، Melsted P، Gunnarsdottir K، Holm H، Eythorsson E، et al. آئس لینڈ میں SARS-CoV-2 کے لیے مزاحیہ مدافعتی ردعمل۔ نیو انگلینڈ جرنل آف میڈیسن۔ 2020; 383(18):1724– 1734۔ https://doi.org/10.1056/NEJMoa2026116 PMID: 32871063

25. Dan JM، Mateus J، Kato Y، Hastie KM، Yu ED، Faliti CE، et al. SARS-CoV-2 کی امیونولوجیکل میموری کا اندازہ انفیکشن کے بعد 8 ماہ تک ہوتا ہے۔ سائنس۔ 2021۔ https://doi.org/10.1126/science.abf4063 PMID: 33408181

26. 9 سال کے بعد سے بچاؤ کی حفاظت۔ ڈینڈریڈس ہسپتال کی پریس ریلیز۔ Webbadress: www.ds.se/jobbahos-oss/mot-oss/bred-immunitet-efter-nio-manader/

27. Folkha¨lsmyndigheten. Påvisning av antikroppar efter genomgången COVID-19 i blodprov från o¨ppenvården.

28. میڈویل زیڈ جے، یانگ وائی، لونگینی آئی ایم، ہالورن ایم ای، ڈین این ای۔ SARS-CoV-2 کی گھریلو ترسیل: ایک منظم جائزہ اور میٹا تجزیہ۔ JAMA نیٹ ورک کھلا ہے۔ 2020; 3(12):e2031756–e2031756۔ https://doi.org/10.1001/jamanetworkopen.2020.31756 PMID: 33315116

29. فرگوسن این، لیڈن ڈی، نیدجاتی-گیلانی جی، امی این، اینسلی کے، بیگولین ایم، وغیرہ۔ رپورٹ 9: COVID-19 اموات اور صحت کی دیکھ بھال کی مانگ کو کم کرنے کے لیے غیر دواسازی کی مداخلت (NPIs) کا اثر۔ امپیریل کالج لندن۔ 2020; 10(77482):491–497۔

30. Carlsson M, Hatem G, So¨derberg-Naucle´r C. ریاضیاتی ماڈلنگ SARS-CoV-2 کے لیے پہلے سے موجود استثنیٰ کی تجویز کرتی ہے۔ medRxiv. 2021۔

31. Doshi P. Covid-19: کیا بہت سے لوگوں میں پہلے سے موجود استثنیٰ ہے؟ بی ایم جے 2020; 370. پی ایم آئی ڈی: 32943427

32. Jones TC, Biele G, Mu¨hlemann B, Veith T, Schneider J, Beheim-Schwarzbach J, et al. SARS-CoV-2 انفیکشن کورس میں متعدی ہونے کا اندازہ لگانا۔ سائنس۔ 2021۔ https://doi.org/10.1126/science۔ abi5273 PMID: 34035154

33. فائن پی، ایمز کے، ہیمن ڈی ایل۔ "ہرڈ امیونٹی": ایک کھردرا گائیڈ۔ طبی متعدی امراض۔ 2011; 52 (7):911–916۔ https://doi.org/10.1093/cid/cir007 PMID: 21427399